Olafek

KInematyka

11 posts in this topic

Jacek i Tomek idą w tym samym kierunku. Odległość między Nimi wynosi 60 m, maszerują naprzód równym krokiem. Pies, wyrusza od Jacka i biegnie po prostej do Tomka po czym natychmiast zawraca i biegnie z powrotem do Jacka. W chwili, kiedy pies dobiegł do Jacka, chłopcy przeszli po 60 metrów. pytanie: zakładając,
że pies biegnie ze stałą prędkością i że zawracanie nie zajmuje mu dodatkowego czasu, powiedz ile metrów przebiegł?

Próbowałem rozwiązać zadanie w układzie związanym z chłopcami, ale jak dla mnie to tu jest za mało danych... no nie wiem może ktoś coś poradzi :D

0

Share this post


Link to post

DwuTom - Twoje poczucie humoru jest super z tym piesem i bachorami. Jednak co do poprawności rozwiązania tego zadania to zrobiłeś to nieprawidłowo.

Z danych z zadania wynika, że:

1.      Jacek przebył drogę 60 m od drogi początkowej So1 = 0 do drogi końcowej S1 = 60 m

2.      Tomek przebył drogę 60 m od drogi początkowej So2 = 60 m do drogi końcowej S2 = 120 m

3.      Pies przebył drogę Sx od drogi początkowej So3 = 0 do drogi końcowej S3 = 60 m, przy czym „po drodze” dogonił Tomka, a potem wrócił do Jacka. W tym czasie jego prędkość była stała co do wartości, a „po drodze” został zmieniony jej zwrot na przeciwny ( ujemny ) w stosunku do początkowego.

4.      Przedstawiając to zagadnienie w układzie S-t ( droga-czas ) dla tych trzech obiektów, zauważyć należy, że współczynnik kierunkowy ( będący mx ) w równaniu drogi dla psa zmienia tylko znak – gdyż sama bezwzględna wartość tego współczynnika jest stała, a zmienia się jej zwrot co oznacza nadanie mu wartości ujemnej.

5.      Co do przebiegu drogi przez psa, to w przeciwieństwie do wartości wynikającej z równania drogi i muszącej mieć wartość 60 m jako że jest ona zdeterminowana, to „przebieg” psa jest wynikiem dodawania pewnych dróg pośrednich, przebiegających w odpowiednio pośrednich czasach. Jest tak dlatego, że z równań drogi otrzymamy różnicę pomiędzy punktem końcowym i początkowym, podczas gdy faktycznie pies osiągnął najpierw drogę równą y5 - żeby dogonić Tomka , a potem przebył drogę y5-60, żeby spotkać się z nadchodzącym Jackiem

6.      Wykonałem specjalnie dwa rysunki, które różnią się tylko i wyłącznie przyjętym ( dowolnie i arbitralnie ) czasem równym raz 30 ( m/min ), a w drugim przypadku 60 ( m/min ). Wykonując stosowne obliczenia dla obu przypadków otrzymujemy identyczne wyniki, co oznacza, że ani przyjęty czas ruchu, ani przyjęta prędkość Jacka i Tomka nie zmieniają finalnego wyniku liczbowego, dotyczącego drogi jaką przebiegł pies.

7.      Trochę „dla odmiany” rozwiązałem to zadanie przy pomocy nie wzorów dotyczących równań ruchu, a przy pomocy czystej geometrii analitycznej. Po wprowadzeniu współrzędnych punktów, oznaczonych na rysunku jako 1, 2, 3, 4 i 5 ( patrz rysunek )  można napisać równania prostych: 1-2, 3-4, 1-5 i 2-5. Z faktu przecięcia się odpowiednich prostych dochodzimy do znalezienia współrzędnych punktu 5 jako x5 i y5, a znając już y5 dochodzimy do przebiegu drogi przez psa. Trzeba tu też uwzględnić, że współczynnik kierunkowy prostej ( mx ) obrazującej drogę psa ma tę samą wartość bezwzględną ( bo prędkość psa jest jednakowa ), a zmienia się jej znak w punkcie 5.

 

Odpowiedź: pies przebył drogę równą 144,86 m, przy czym od Jacka do Tomka przebył 102,43 m a od Tomka do Jacka 42,43 m

 

http://forum.biomist.pl/uploads/images/1429274051-U2014.jpg

1

Share this post


Link to post

Ja mimo wszystko będę wdzięczny jak ktoś przedstawi rozwiązanie tego zadania na wzorach.

 

Z góry dzięki!

0

Share this post


Link to post

Znajomy fizyk, sprawdził moje rozwiązanie i stwierdził, że dobrze to zrobiłem. Dodał, że do tego najlepiej podejść logicznie.

0

Share this post


Link to post

OLAFEK

Powiedz mi, skąd wziąłeś to zadanie ?

 

DWU TOM

Dobrze, zostawmy na boku rozważania w zakresie geometrii analitycznej, bo chyba rozważania te nie przekonują Cię.

Przejdźmy zatem do logiki. Przyjmę tu, że całkowity czas ruchu ( dla bachorów i piesa ) wynosi t=1 i jest to przyjęcie czasu ruchu jako dowolnego parametru, tj. czas wynosi jedną jednostkę ( np. 1 godz., 5 sek., 3 min, lub nawet pierwiastek z 127,58 ). Wielkość tego parametru nie ma żadnego znaczenia dlatego, że wpływa on tylko i wyłącznie na prędkość ruchu, a w ostateczności przebyte drogi pozostają niezmienne. Dokładniej: dwa razy większa prędkość i dwa razy mniejszy czas nie zmieniają przebytej drogi.

Jeśliby Tomek przebył swoją drogę od 60 do 120 m, a w tym samym czasie pies dogoniłby Tomka to pies przebyłby drogę 120 m ale czas ruchu zakończyłby się i pies nie mógłby wracać do Jacka. Oznacza to, że spotkanie psa z Tomkiem musiało nastąpić wcześniej – żeby pies miał jeszcze czas wracać do Jacka – zatem pies nie mógł przebyć drogi 120 m ale drogę krótszą – niechby, dla ustalenia uwagi 105 m. Teraz pies cofa się do pozycji Jacka ( który osiągnął na koniec 60 m ) czyli pokonuje 105 - 60 = 45m. Zatem pies przebył sumarycznie drogę 105 + 45 = 150 m. Droga ta – tak czy inaczej mieści się pomiędzy wielkością 180 a 120 m. Oczywiście, nie ma tu uzasadnienia przyjmowanie, że pies przebył drogę 150 m ( co przyjęte było tylko dla ustalenia uwagi ) – wymaga to analizy ruchu tych trzech obiektów, jak poniżej.

Śledź zamieszczony poniżej rysunek:

 

http://forum.biomist.pl/uploads/images/1430833061-U2014.jpg

 

 

1.      Prosta wyznaczona punktami 1-2 prezentuje drogę Jacka

2.      Prosta wyznaczona punktami 3-4 prezentuje drogę Tomka

3.      Prosta wyznaczona puntami 1-5 lub 1-6 prezentuje drogę psa

4.      Prosta wyznaczona puntami 2-5 prezentuje drogę psa w ruchu „powrotnym”

5.      Pis biegnie z tą samą prędkością, która w określonym momencie czasowym ( tx ) zmienia swój zwrot,

6.      Na podstawie równań ruchu przedstawionych w układzie współrzędnych S(t) i t zdefiniujemy odpowiednie równania ruchu, gdzie współczynnikiem kierunkowym odpowiednich prostych jest prędkość i możemy napisać:

Ad.1.  S = V*t zatem Sx = V*tx

Ad.2.  S = 60 + V*t zatem Sx = 60 + V*tx

Ad.3. Sx = Vx*tx oraz Sp = Vx*t gdzie t = 1 ( jednostka czasu parametryczna, określona jak wyżej ).

Ad.4. Droga psa, którą zrobił w czasie t-tx, i gdyby ją kontynuował ale nie zawrócił. Droga do Jacka jest dokładnie taka sama. Oznaczmy ją jako „k”

 

Piszemy równania:

R1: Vx*tx = Sx

R2: V*tx + 60 = Sx

R3: k = Vx*1 – Sx

R4: k = Sx – 60

R5: V*t = 60

Mamy tu układ 5 równań więc rozwiązujemy to uważnie:

Z R3 i R4 otrzymujemy: Vx*1 – Sx = Sx - 60 ---> 2Sx =  Vx*1 + 60

Tę zależność wstawiamy do R1 i R2:

Vx*tx = 0,5*( Vx*1 + 60 )

i

V*tx + 60 = 0,5*( Vx*1 + 60 )

oraz V*t = 60, które wstawiamy do drugiego równania, co daje nam układ równań:

Vx*tx = 0,5*( Vx*1 + 60 )

i

60/t *tx + 60 = 0,5*( Vx*1 + 60 ) i t = 1

Mamy teraz układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi tx i Vx:

Vx*tx = 0,5*( Vx*1 + 60 )

i

60*tx + 60 = 0,5*( Vx*1 + 60 )

Wyznaczamy teraz ( np. tx ) z drugiego równania:

tx = [ 0,5*( Vx*1 + 60 ) – 60 ]/60 = Vx/120 – 0,5  I wstawiamy do pierwszego:

Vx*(   Vx/120 – 0,5  ) = 0,5*( Vx*1 + 60 )

Mamy teraz jedno równanie z jedną niewiadomą Vx więc rozwiązujemy:

Będzie tu trójmian kwadratowy, którego rozwiązaniem jest Vx = 144,85

Wracamy do poprzednich rozwiązań ( z pierwotnego układu 5 równań ):

tx = Vx/120 – 0,5 = 144,85/120 – 0,5 = 0,7071 ( czas nie wynosi 0,7071 sek, a 0,7071 przyjętych jednostek czasowych )

Sx = Vx*tx = 144,85*0,7071 = 102,42

Droga, którą przebiegł pies to 2Sx – 60 = Sp

 

Sp = 144,85

 

Ten wynik – otrzymany na kanwie rozważań równań ruchu w zakresie fizyki - pokrywa się dokładnie z wynikami otrzymanymi w zakresie rozważań z zakresu geometrii analitycznej. Napisałem:

 

Wynik na podstawie geometrii analitycznej: Sp = 144,85

Wynik na podstawie równań ruchu: Sp = 144,85

…amen

0

Share this post


Link to post

Żeby dodać komentarz, musisz założyć konto lub zalogować się

Tylko zarejestrowani użytkownicy mogą dodawać komentarze

Dodaj konto

Załóż nowe konto. To bardzo proste!


Zarejestruj nowe konto

Zaloguj się

Posiadasz już konto? Zaloguj się tutaj.


Zaloguj się teraz