• 0
Adax82

Pytanie o extrema

Question

Witajcie ! Chciałbym trochę rozruszać ten dział więc zapraszam wszystkich zainteresowanych do dzielenia się swoimi problemami z zakresu matematyki. Masz problem - przedstaw go tutaj. Na pewno dostaniesz tu pomoc.

 

[moderator: Dla zachowania porządku i łatwości późniejszego odszukiwania już rozwiązanych problemów lepiej jednak zakładać do każdego pytania oddzielny wątek]

1

Share this post


Link to post

9 answers to this question

  • 0

Witaj Adax82, widzę że wszyscy zmieniają forum  :D Na początek prosiłbym, żebyś policzył mi (lub ktoś inny) ekstrema f(x) = (x2 - x - 2)/x2 bo liczę 10 razy i w kółko to samo a nijak się to ma do przebiegu zmienności tej funkcji, bo te ekstrema, które mi wychodzą na wykresie wcale nie są ekstremami...

0

Share this post


Link to post
  • 0

Witaj Olafek :)

 

1. Przekształcimy nieco naszą funkcję:

f(x) = 1 - 1/x -2/x2  i x nie równe zero

obliczamy pierwszą pochodną tej funkcji:

f'(x) = x-2 + 4x-3

badamy miejsce zerowe pierwszej pochodnej:

f'(x) = 0 --> x-2 + 4x-3 = 0 ---> x = -4

f'(x) < 0 dla x < -4

f'(x) = 0 dla x = -4

f'(x) > 0 dla x > -4

oznacza to, że w przedziale w którym pierwsza pochodna jest ujemna, badana funkcja jest malejąca, a w przedziale gdzie pierwsza pochodna jest dodatnia, badana funkcja jest rosnąca. Zatem badan funkcja posiada minimum  dla x = -4

0

Share this post


Link to post
  • 0

Nie wiem, jak to możliwe. Liczyłem tą pochodną chyba 10 razy i za każdym razem zrobiłem ten sam błąd rachunkowy. Ktoś jest w stanie to wyjaśnić - jakiś odruch bezwarunkowy przy mnożeniu konkretnych liczb? Wychodziło mi 4, Tobie -4, ale to i tak wszystko jedno. Popatrzmy:

f(-0,5) = -5

f(-1) = 0

Skoro funkcja jest rosnąca dla x>-4 to dlaczego f(-1)>f(-0,5)? Jakby popatrzeć na wykres tej funkcji to leci on tak: od minus nieskończoności (lim = 1) "rośnie" do przypuszczalnej -4, gdzie osiąga co najwyżej maksimum (!), potem maleje w przedziale <-4;0) do minus nie skończoności, po czym w przedziale powyżej zera rośnie od minus nieskończoności do granicy w 1, od dołu tym razem.  Co tu jest nie tak? Bo chyba wykres dobrze narysowany (online) zresztą punkty się wszystkie zgadzają... tylko ten przebieg zmienności jakiś dziwny... 

0

Share this post


Link to post
  • 0

Olafek

Prawie wszystko zgadza się. Bo znaki pierwszej pochodnej są odwrotne niż podałem. Zatem funkcja jest rosnąca od minus nieskończoności do x = -4 i w tym punkcie wartość pierwszej pochodnej wynosi zero, a wartość funkcji wynosi 1,125; funkcja dla x od -4 do x dążącego do 0 od strony ujemnej jest malejąca i posiada miejsce zerowe dla x = -1. Dla x = -4 mamy zatem maksimum funkcji. Dla x>0 funkcja jest tylko rosnąca ( pierwsza pochodna jest tylko dodatnia ) i posiada miejsce zerowe dla x = 2. W tej części wartości funkcji asymptotycznie zmierzają do wartości równej 1.

0

Share this post


Link to post
  • 0

Nadal nie rozumiem, tzn. to wszystko się nie trzyma kupy. Bo piszesz że w zerze zmienia się monotoniczność (i rzeczywiście tak jest) ale gdzie niby w obliczeniach pochodnej ci to wyszło? 

0

Share this post


Link to post
  • 0

OLAFEK

1. Mam to wszystko narysowane oraz obliczone dla pierwszej i drugiej pochodnej. Zrobię z tego skan i podeślę. Lepiej zobaczyć to na wykresie.

2. Nasza funkcja jest rosnąca w przedziale od minus nieskończoności do x = -4, ale tempo tego wzrastania wyznaczane jest przez drugą pochodną. Jest tak, że to wzrastanie jest coraz silniejsze w przedziale od minus nieskończoności do x = -6, a w przedziale od x = -6 do x = -4 wzrastanie słabnie. W punkcie x = -6 występuje punkt przegięcia ( druga pochodna ma wartość zero ), a wartość funkcji wynosi 1,11(1)

3. Dla x = 0 wartość funkcji, jej pierwszej pochodnej i jej drugiej pochodnej jest nieoznaczona.

4. Co do monotoniczności dla x dążącego do zera: od strony ujemnej funkcja jest malejąca, od strony dodatniej jest rosnąca.

5. Mam jeszcze prośbę do Ciebie na privie.

0

Share this post


Link to post
  • 0

[moderator: grafiki należy wrzucać na serwer, na zewnętrznych stronach po jakimś czasie mogą zniknąć]

 

Tu jest rysunek:

 

 

post-1580-0-06923800-1427454813_thumb.jp

0

Share this post


Link to post
  • 0

Adax82, 

dzięki wielkie za twoje wywody, tradycyjnie już i tak nie uzyskałem jednoznacznej odpowiedzi na moje pytanie :D Musiałem sam znaleźć błąd  a oto wyniki:

- mój błąd na początku - ekstremum wyszło mi 4 zamiast -4 i wszystko się posypało;

- twój błąd - w efekcie i mój później - to, że w danym miejscu pochodna nie jest zero, nie znaczy, że nie może zmieniać znaku; miejsca zerowe wychodzą ok, ale w momencie, kiedy zrobisz z tego nierówność (co ja zawsze robię) okaże się, że dojdziesz do postaci x(x+4)>0 dla funkcji rosnącej, czyli f rośnie dla (-niesk; -4) U (0;niesk) co się zgadza z wykresem :)

0

Share this post


Link to post
  • 0

Olafek - wszystko się zgadza, mimo, że "po drodze" były jakieś tam błędy a raczej niedorozumienia. 

"Roma locuta, casa finita"...

0

Share this post


Link to post

Żeby dodać komentarz, musisz założyć konto lub zalogować się

Tylko zarejestrowani użytkownicy mogą dodawać komentarze

Dodaj konto

Załóż nowe konto. To bardzo proste!


Zarejestruj nowe konto

Zaloguj się

Posiadasz już konto? Zaloguj się tutaj.


Zaloguj się teraz